Evrenimizin geometrisi nedir?

0
188

Aklımız bize evrenin sonsuza kadar uzandığını söylemekte. Lakin geometrik bir inceleme ile ‘sıradan’ sonsuz uzaylara alternatifler sunan çeşitli üç boyutlu cisimleri keşfedebiliriz. Yazının ikinci kısmında küresel ve hiperbolik geometrileri inceleyeceğiz.

Aklımız bize evrenin sonsuza kadar uzandığını söylemekte. Lakin geometrik bir inceleme ile “sıradan” sonsuz uzaylara alternatifler sunan çeşitli üç boyutlu cisimleri keşfedebiliriz. Aşağıda ikinci kısmını sunduğumuz makale kısaca, üç farklı geometri üzerinden (düzlem, küresel ve hiperbolik geometri) basit modellerle gözlemleyebildiğimiz ve gözlemleyemediğimiz evrenin modellerini tartışmaktadır. Bu yazının değerli olduğu bir diğer nokta ise sadece evrenimizin geometrisi üzerine değil, farklı geometrilerin nitelikleri üzerine de açıklayıcı olmasıdır. Alt metninde ise son dönemlerde salgın bir hastalık gibi tekrar ortaya çıkan düz-dünyacıların savlarının geçersizliğini görebilirsiniz. Çevirisini sunduğumuz bu popüler bilim makalesi, Erica Klarreich ve Lucy Reading-Ikkanda tarafından Quanta Magazine’de 16 Mart 2020 tarihinde yayınlanmıştır, uzunluğundan dolayı yazıyı iki parça yayınlama kararı aldık. Bir önceki yazımızda evrenin düzlemsel olduğu durumu incelemiştik. Bu yazıda ise kalan iki durum, küresel geometri ve hiperbolik geometri, üzerinden evrenimizin geometrisini sorgulamaya devam edelim.


Gece gökyüzüne baktığımız vakit, uzay her yönden sonsuza dek uzanıyor gibi gözükmektedir. Bu bakış açısı bizim evrene dair zihinsel bir modellememizdir, ancak tamamen doğru değildir. Nihayetinde, herkesin Dünya’nın düz olduğunu düşündüğü bir zaman vardı, bunun nedeni gezegenimizin eğriliğinin (curvature) tespit edilemeyecek kadar küçük olması ve küre biçiminde bir dünyanın [o zaman için] anlaşılmazlığıdır.

Bugün, Dünya’nın şeklinin bir küreye benzediğini biliyoruz. Fakat birçoğumuz evrenin şekli üzerine çok az düşünmekte. Küre biçiminde bir dünya, düz dünyanın bir alternatifi olduğu gibi diğer üç boyutlu şekiller de “sıradan” sonsuz uzayların alternatifi olabilir.

Evrenin şekli üzerine, ayrı gibi duran ama birbirleriyle ilişkili olan iki soru sorabiliriz. Bunlardan birisi geometri ile ilgili: açılar ve alanlar gibi yapıların incelikli yerel (local) ölçümleri. Diğeri soru ise topoloji ile alakalı: bu yerel (local) parçaların nasıl olup da kapsayıcı bir şekil içerisinde bir araya getirebileceği.

Kozmolojik kanıtlar evrenin görebildiğimiz kısmının, hemen hemen, pürüzsüz (smooth) ve homojen (homogeneous) olduğunu söylemektedir. Uzayın yerel dokusu (local fabric) da her noktada ve yönde benzer görünmekte. Sadece üç farklı geometri bu tanımlamaya uygun düşmektedir: düzlem geometrisi, küresel geometri ve hiperbolik geometri. Bu noktada, bazı topolojik sorgulamalarla birlikte, bu üç geometriye ve kosmolojik kanıtların hangi yapıların evrenimizi daha iyi tanımladığına bakalım.

KÜRESEL GEOMETRİ

Bir topun, portakalın, Dünya’nın yüzeyi gibi iki boyutlu kürelere her birimiz aşinayız. Peki evrenimizin üç boyutlu bir küre olması ne demektir?

Üç boyutlu küreyi hayal etmek zordur, lakin bunu basit bir benzerlik üzerinden tanımlayabiliriz. İki boyutlu küre, sıradan üç boyutlu uzay içerisindeki bir merkezden aynı uzaklıkta bulunan noktalar kümesi olduğuna göre, üç boyutlu küre (ya da “üç-küre”) de dört boyutlu uzay içerisindeki bir merkezden aynı uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir.

Üç-küre üzerindeki yaşam düz uzaydaki yaşamdan bayağı farklı hissettirir. Bunu anlayabilmek için iki boyutlu bir küre üzerinde yaşayan iki boyutlu bir canlı olduğunuzu hayal edelim. İki boyutlu küremiz tüm evreni oluşturur – etrafımımızı saran üç boyutlu uzayı ne görebiliriz ne de bir erişimimiz vardır. Bu küresel evrende, ışık mümkün olan en kısa yollar üzerinden seyahat etmektedir: büyük çemberler (the great circles). Sizin için bu büyük çemberler düz doğrular gibi görünür [Şekil 1].

Şekil 1.  Animasyon: Küresel evren üzerindeki bir gözlemci büyük çemberleri doğru olarak algılayacaktır. Ayrıca gözlemci kendisine de görebilecektir.

Şimdi farz edelim ki siz ve iki boyutlu bir arkadaşınız Kuzey Kutbu’nda takılıyorsunuz ve arkadaşınız yürüyüşe çıkıyor. Arkadaşınız uzaklaştıkça, ilk başlarda aynı gerçek dünyamızda olduğu gibi görüş ufkumuzdan (görsel daire) daha küçük görünmeye başlayacak (her ne kadar alıştığımız kadar hızlı küçülmeyecek olmasına rağmen). Bunun nedeni sizin görüş ufkunuz büyüdükçe arkadaşınızın daha küçük bir yüzdede alan kaplayacak olması [Şekil 2]

Şekil 2. Kuzey Kutbun’daki gözlemci için güneye doğru hareket eden bir obje (örnekte arkadaşı) görüş ufkunda daha az yer kaplayacaktır. Lakin bir sonraki resimde de görülebileceği gibi küçülme durumu, ekvatordan sonra tersine dönecektir. Bu resimde gözlemciye daha yakın olan obje gözlemcinin görüşünün %5’ini doldururken, uzaktaki obje %3,6’sını doldurmaktadır.

Arkadaşınız Güney Kutbu’ndan 10 feet (yaklaşık olarak 3,05 m) uzaklıkta olduğunda, sanki sizden 10 feet uzaklıktaymış gibi görünür [Şekil 3]:

Şekil 3. Kuzey Kutbu’na (ayrıca gözlemciye) uzaklığı ve Güney Kutbu’na uzaklığı aynı olan bu iki obje, Kuzey Kutbu’nda bulunan gözlemcinin görüşünde aynı oranda yer tutacaktır.

Ve Güney Kutbu’na ulaştığında, her bir yönden onu görebilirsiniz, böylece tüm görsel ufkunuzu dolduruyor olacaktır [Şekil 4]:

Şekil 4. Arkadaşınız Güney Kutbu’na ulaştığından her yerde arkadaşınızı göreceksiniz, yani tüm gökyüzünüzü arkadaşınız dolduracaktır.

Eğer Güney Kutbu’nda kimse yoksa, görsel ufkunuz daha bir garip olacaktır: kendinizi göreceksiniz. Bunun nedeni sizden çıkan ışığın kürenin her bir tarafından size doğru geri dönmesidir.

Üç boyutlu küre içerisinde bir yaşam direkt olarak bu şekilde gerçekleşir. Üç-küre üzerinde her bir noktanın karşılık geldiği zıt bir nokta vardır ve eğer karşıt noktasında bir nesne bulunuyorsa bunu, sanki gökyüzüymüşçesine, bütün bir fon olarak görebiliriz. Eğer bir şey yoksa, bunun yerine, kendimizi bir fon olarak görürüz, sanki vücudumuz bir balonun üzerine yapıştırılıp, daha sonra balon içeriye döndürülmüş ve tüm ufku kaplayacak şekilde şişirilmiş gibi [Şekil 5].

Şekil 5. Küresel geometri üzerinde ufukta kendi arkanızı görebilirsiniz.

Üç-küre küresel geometri için temel bir model olsa dahi bu elimizdeki tek uzay değildir. Aynı Öklid uzayından bir parça kesip birbirlerine yapıştırarak oluşturduğumuz düz uzaylar gibi üç-küreden uygun bir parça kesip yapıştırarak küresel uzaylar inşa edebilir. Bu yapıştırılmış şekillerin her birinde torusta olduğu gibi ayna etkisi gözlemlenecektir, ancak bu küresel şekillerde sadece sonlu sayıda oda içerisinde gezinebiliriz.

EVRENİMİZ KÜRESEL Mİ?

Aramızdaki en narsistik kişi bile tüm gece boyunca kendisini gökyüzünün fonu olarak görmemektedir. Fakat düz torusta olduğu gibi, bu fenomeni görmüyor olmamız var olamayacağı anlamına gelmemektedir. Küresel evrenin çevresi gözlemlenebilir olan evrenin boyutundan çok daha büyük olabilir ve bu da fonun göremeyeceğimiz kadar uzakta olduğu anlamına gelebilir.

Torusun aksine, tamamen yerel düzeydeki ölçümler küresel evreni tespit etmemizi sağlayabilir. Küresel şekiller sonsuz Öklid uzaylarından sadece genel topolojileri ile farklılık göstermezler, ayrıca incelikli geometrileri arasında da farklılıklar vardır. Örneğin, küresel geometride düz doğrular büyük çemberler oluşturduğundan üçgenler de Öklidyen karşılıklarından daha tombuldurlar, iç açıları toplamı 180 dereceden fazla olacaktır [Şekil 6]:

Şekil 6. Küresel geometride üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.

Aslında kosmik üçgenleri ölçmek, evrenin kavisli olup olmadığını ölçmek için kozmologların ilk başvurdukları yoldur. Kozmik mikrodalga arkaplanı (CMB) üzerindeki her bir sıcak ve soğuk nokta için, bu noktaların çapı ve Dünya’dan uzaklığı bilinmektedir, bunlar da üçgenin üç köşesini oluşturur. Üçgenin iç açılarından birinin gece gökyüzünde oluşturduğu açıyı ölçebiliriz. Sonrasında kenar uzunlukları ve açıların kombinasyonu üzerinden düzlemsel, küresel veya hiperbolik geometriye (hiperbolik olma durumunda üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olacaktır) uygun olup olmadığını kontrol edebiliriz.

Buna benzer testlerin ve diğer eğrilik ölçümlerinin sonucunda evrenimizin düz ya da düze çok yakın bir yapıda olduğu görülmüştür. Bununla birlikte, bir araştırma ekibi 2018 yılında Planck Uzay Teleskobu’ndan gelen veriler ile evrenimizin yapısını küresel bir geometri ile açıklayabileceklerini iddia ettiler [2]; buna karşın, bu iddialarına diğer araştırmacılar, buldukları sonuçların istatistiki bir şans/hata eseri ortaya çıktığını savundular.

HİPERBOLİK GEOMETRİ

Kendi içinde kavislenen kürenin aksine, hiperbolik geometri dışa doğru bükülür. Disket şapkaların, mercan resiflerinin ve eyerlerin geometrisidir hiperbolik geometri. Hiperbolik geometrinin temel modeli, aynı Öklidyen uzayda olduğu gibi, sonsuz bir genişliktir. Lakin hiperbolik geometri, dışarıya doğru, düzlem geometrisinden daha hızlı büyüdüğü için geometriyi bozmadan sıradan Öklid uzayı içine iki boyutlu hiperbolik düzlemi yerleştirmenin yolu yoktur. Örneğin, Poincaré diski olarak da bilinen aşağıdaki şekilde [Şekil 7] hiperbolik düzlemin bozulmuş görüntüsünü görebilirsiniz:

Şekil 7. Poincaré Diski. (Kaynak: Roice Nelson)

Bizim perspektifimizden, çemberin kenarına daha yakın olan üçgenler merkeze yakın olan üçgenlerden daha büyük gibi görünmekte, ancak hiperbolik geometrinin perspektifinden baktığımızda tüm üçgenler aynı boyuttadır. Eğer üçgenlerin boyutlarını aynı olarak görmeye çalışırsak – belki de diskimiz için daha esnek malzeme kullanır ve merkezden dışarıya doğru hareket ederek her üçgeni biraz şişirirsek – diskimiz bir disket şapkaya benzemeye başlar ve dışa doğru açılırken daha çok bükülür. Sınıra doğru yakınsadıkça bu bükülme kontrolden çıkacaktır.

Hiperbolik geometri açısından, sınır çemberi herhangi bir iç noktadan sonsuz mesafededir, bunun nedeni oraya ulaşabilmeniz için sonsuz sayıda üçgen ile karşılaşmanız gerekmesidir. Dolayısıyla aynı Öklidyen düzlem gibi hiperbolik düzlem de her yönde sonsuza uzanır. Fakat yerel geometri açısından hiperbolik düzlem üzerindeki yaşam alışık olduğumuzdan çok farklıdır.

Alışılagelmiş Öklid geometrisinde, bir dairenin çevresi ile çapı arasında doğrudan bir oran vardır; lakin hiperbolik geometride dairenin çevresi, yarıçapı ile karşılaştırıldığında üstel (exponential) olarak büyür. Hiperbolik çemberin kenarına yaklaştıkça bu üçgen yığınının üstel yığılımını gözlemleyebiliriz [Şekil 8].

Şekil 8. Poincaré diskinin kenarlarını incelediğimizde üçgenlerin yığılımını gözlemleyebiliriz.

Bu özelliğinden dolayı, matematikçiler hiperbolik uzay içerisinde kaybolmanın kolay olduğunu söylerler. Alıştığımız Öklid uzayında bir arkadaşınız sizden uzaklaşmaya başladığında daha küçük görünmeye başlar; ancak bu yavaş bir şekilde olur, çünkü görüş ufkunuz çok hızlı büyümez. Hiperbolik uzayda ise görüş ufkunuz üstel olarak büyür, bu yüzden arkadaşınız üstel olarak küçülen bir benek gibi görünecektir. Arkadaşınızın ilerlediği yolu dikkatlice takip etmezseniz ona ulaşmak için yolunuzu bulmanız imkânsız hale gelecektir [Şekil 9].

Şekil 9. Poincaré diskinin merkezinde bulunan siz ve kenarlara doğru hareket eden arkadaşınız arasındaki yol.

Hiperbolik geometride üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür – örneğin Poincaré diskini döşerken kullandığımız üçgenlerin iç açıları toplamı 165 derecedir [Şekil 10]:

Şekil 10. Poincaré diskini döşerken kullanılan üçgenlerin iç açıları toplamı, resimde de görebileceğiniz gibi, 165 derecedir.

Bu üçgenlerin kenarları, bize, düz olarak görünmemektedir, zira hiperbolik geometriye yanlış gözlüklerle bakmaktayız. Poincaré diskinin sakinlerince bu eğriler düz doğrulardır, çünkü A noktasından B noktasına varmanın en hızlı yolu merkeze doğru bir kestirme olacaktır [Şekil 11]:

Şekil 11. Poincaré diski üzerindeki A ve B noktaları arasındaki en kısa mesafe.

Poincaré diski ile kurabileceğimiz üç boyutlu doğal bir analoji mevcuttur – basitçe üç boyutlu bir top alalım ve içini üç boyutlu şekillerle dolduralım, Poincaré diskindeki üçgenlere benzeyecek şekilde topun sınırlarına yaklaştıkça daha küçük şekiller kullanalım. Düzlemsel ve küresel geometrilerde de olduğu gibi, üç boyutlu hiperbolik topların yüzlerinden kesip yapıştırarak, diğer üç boyutlu hiperbolik uzayları çeşitlendirebiliriz.

EVRENİMİZ HİPERBOLİK Mİ?

Dar üçgenleri ve üstel büyüyen daireleriyle hiperbolik geometri, içinde yaşadığımız uzayın geometrisine uyuyormuş gibi hissettirmiyor. Gerçekten de daha önce de bahsettiğimiz gibi, kosmolojik gözlemlerin birçoğu düz bir evreni işaret ediyor gibi.

Amma velakin küresel veyahut hiperbolik bir evrende yaşama olasılığımızı göz ardı edemeyiz, çünkü küçük parçalar üzerinden baktığımızda her ikisi de neredeyse düz gibi görünmektedir. Örneğin, küresel geometrideki küçük üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden biraz fazlayken hiperbolik geometrideki küçük üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden çok az da olsa küçüktür.

Bu yüzdendir ki erken dönemlerde insanlar Dünya’nın düz olduğunu düşündüler – gözlemleyebildikleri ölçülerde dünyanın eğriliği tespit edilemeyecek kadar küçüktü. Küresel veya hiperbolik şekil büyüdükçe her bir küçük parçası o kadar düzdür ki evrenimiz aşırı derecede büyük küresel veya hiperbolik bir yapıdaysa, gözlemleyebildiğimiz kısmının eğriliği ancak ve ancak henüz icat etmediğimiz olağanüstü hassas aletlerle tespit edilebilecektir ve şu anda bize de bir o kadar düz görünecektir.

Yazar: Erica Klarreich

Grafik Editörü: Lucy Reading-Ikkanda/ Quanta Magazine

Kaynak Metin: Quanta Magazine, What Is the Geometry of the Universe?, 16 Mart 2020, https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-2020…


Dipnotlar

[1] The VLT’s Laser Guide Star https://www.eso.org/public/images/gerd_huedepohl_2/

[2] Natalie Wolchover (4 Kasım 2019), What Shape Is the Universe? A New Study Suggests We’ve Got It All Wrong, Quanta Magazine https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/

https://haber.sol.org.tr/bilim/evrenimizin-geometrisi-nedir-2-284188

CEVAP VER

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.